Tujuan Pembelajaran : Pada bab ini, Ananda akan mempelajari tentang persamaan kuadrat Setelah melakukan pembelajaran ini, Ananda dapat:
3.2.4. Mengidentifikasi karakteristik dari penyelesaian persamaan kuadrat dengan melihat nilai Diskriminannya
Nah, sebelum membahasnya, ananda harus tahu dulu apa itu diskriminan.
Pengertian Diskriminan
Diskriminan
Diskriminan yaitu suatu nilai pada persamaan (umumnya persamaan kuadrat) yang membedakan banyaknya akar persamaan itu sendiri.
Diskriminan juga memiliki arti hubungan antara koefisien dalam persamaan kuadrat untuk mencari akar persamaan dan ciri – ciri yang lainnya.
Diskriminan dari Persamaan Kuadrat. Perhatikan bahwa √X tersebut adalah bilangan real hanya jika X ≥ 0. Karena selesaian persamaan kuadrat tersebut akan memuat bentuk akar √(b2 – 4ac), bentuk aljabar b2 – 4ac, yang disebut diskriminan, akan menentukan sifat dan banyaknya selesaian/akar dari persamaan kuadrat yang telah diberikan.
Sifat Dan Fungsi Diskriminan
Diskriminan atau bisa disebut juga Determinan merupakan suatu notasi dalam tanda akar b²-4ac yang terkadang dinotasikan dengan huruf D.
Diskriminan Persamaan Kuadrat
Sifat dan fungsi dari diskriminan yaitu antara lain :
D > 0, fungsinya maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar nyata yang berlainan (x1 tidak sama dengan x2).
D = 0, fungsinya maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar yang sama (x1 = x2).
D < 0, fungsinya maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai akar imajiner / tidak nyata / tidak real.
Aturan diatas muncul karena akibat dari letak D yang berada dibawah akar kuadrat. Ketika D = 0, dapat disimpulkan jika rumus abc tinggal -b/2a (disebabkan akar dari 0 yaitu 0). Kemudian, jika kurang dari 0 hasilnya juga akan menjadi imajiner, karena ketika bilangan negatif telah diakar kuadratkan hasilnya pun akan menjadi imajiner.
Rumus Diskriminan
Untuk pembuktian rumus diskriminan maka pahamilah alur pemaparan penjelasan dibawah ini.
Bentuk b2 – 4ac dapat juga disebut diskriminan (pembeda) dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dan dapat juga dilambangkan dengan huruf D, sehingga D = b – 4ac. Pemberian nama/istilah diskriminan D = b2 – 4ac , dikarenakan nilai D = b2 – 4ac ini yang telah mendiskriminasikan (membedakan) jenis akar – akar persamaan kuadrat.
Jadi kegunaan diskriminan tersebut yaitu untuk menentukan jenis akar – akar persamaan kuadrat.
Rumus untuk Deskriminan yaitu antara lain :
D = b2 – 4ac
Sebagaimana jika a, b, dan c dapat diambil dari persamaan kuadrat yaitu antara lain :
ax2 + bx + c
Dari rumus diatas dapat kita simpulkan bahwa diskriminan menjadi alat bantu untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.
Contoh Soal Diskriminan
Kita akan bahas contoh soal beserta penyelesaiannya tentang diskriminan berikut ini yaitu antara lain :
2x2 + 5x + 2 = 0
x2 – 4x + 7 = 0
4x2 – 20x + 25 = 0
Pembahasan
Persamaan 2x2 + 5x + 2 = 0 memiliki a = 2, b = 5, dan c = 2. Sehingga, Kita peroleh bahwa diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut merupakan bilangan kuadrat tidak nol (D>0) . Maka persamaan tersebut memiliki 2 akar rasional dan dapat difaktorkan.
Dari persamaan x2 – 4x + 7 = 0 kita peroleh a = 1, b = –4, dan c = 7. Karena –12 < 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar bilangan kompleks dan tidak dapat difaktorkan.
Persamaan kuadrat 4x2 – 20x + 25 = 0 memiliki a = 4, b = –20, dan c = 25. Maka, Karena diskriminannya nol, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki satu akar bilangan rasional dan dapat difaktorkan.
Contoh Liannya
4.Tentukan dan selesaikan persamaan berikut ini :
x – 10x + 16 = 0
Penyelesaian :
Diketahui :
a = 1
b = -10
c = 16
Ditanya : D =….?
Jawab :
D = b – 4ac
D = (-10) – 4 . 1 . 16
D = 100 – 64
D = 36
Jadi, nilai Diskriminan dari persamaan tersebut adalah = 36
5. Tentukan dan selesaikan persamaan berikut ini :
3x – 36 = 0
Penyelesaian :
Diketahui :
a = 3
b = 0
c = -36
Ditanya : D =….?
Jawab :
D = b – 4ac
D = 0 – 4 . 3 . (-36)
D = 0 + 432
D = 432
Jadi, nilai Diskriminan dari persamaan tersebut adalah = 432
Perhatikan kembali contoh (2) di atas. Diskriminan persamaan kuadrat pada contoh soal tersebut adalah –12, yang berarti bahwa persamaan tersebut memiliki dua selesaian bilangan kompleks, yaitu
Akar-akar tersebut dapat dituliskan sebagai x = 2 + √3 i dan x = 2 – √3 i, yang merupakan dua bilangan kompleks yang sekawan.
agar lebih paham dan mengerti silakan tonton video di bawah ini :
Untuk lebih memahami materi ini silahkan diringkas di buku catatan dan , anak - anak ibu silahkan kerjakan soal latihan / tugas dibawah ini di Buku latihan,
tentukanlah jenis – jenis akar persamaan kuadrat dibawah ini :
X2 + x – 6 = 0
X2 + 4x + 4 = 0
2X2 + 7x – 15 = 0
X2 – 6x + 8 = 0
2X2 + 14x + 40 = 0
Sumber : Berlogika dengan Matematika Kelas IX, TIGA SERANGKAI
KD: 3.3. Mendeskripsikan dan menyatakan relasi dan fungsi dengan menggunakan berbagai representasi (kata-kata, tabel, grasik, instagram, danpersamaan.
4. 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan relasi dan fungsi dengan menggunakan berbagai representasi.
Indicator pencapaian kompetensi:
3.3.1. Membedakan relasi dan fungsi
3.3.2. Menentukan cara menyatakan suatu relasi dan fungsi
3.3.3. menentukan banyak fungsi yang terjadi dari himpunan
3.3.4. Menentukan banyak koresponden satu-satu dari dua himpunan
3.3.5. Menentukan nilai dan rumus suatu fungsi
4.3.1. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan relasi dan fungsi dan fungsi dengan menggunakan berbagai representasi
RELASI
Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu (disebut domain atau daerah asal) ke himpunan lain (disebut kodomain atau daerah kawan kawan). Anggota kodomain yang mempunyai pasangan disebut range atau daerah hasil. Dalam relasi tidak ada aturan khusus yang harus dipenuhi untuk memasangkan anggota himpunan daerah asal ke anggota daerah kawan.
Setiap anggota himpunan daerah asal bisa mempunyai pasangan lebih dari satu atau boleh juga tidak memiliki pasangan sama sekali. Relasi dari dua buah himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu:
· Diagram panah
· Diagram Cartesius.
· Himpunan pasangan berurut
Diagram Panah
Diagram panah merupakan cara yang paling mudah dalam menyatakan suatu relasi. Diagram ini akan membentuk pola dari suatu relasi ke dalam bentuk gambar arah panah yang menyatakan hubungan dari anggota himpunan A ke anggota himpunan B.
Sumber: maretong.com
Diagram Cartesius
Diagram Cartesius adalah sebuah diagram yang terdiri dari sumbu X dan sumbu Y. Dalam diagram Cartesius, anggota himpunan A terletak pada sumbu X, sedangkan anggota himpunan B terletak pada sumbu Y. Relasi yang menghubungkan himpunan A ke B ditunjukkan dengan noktah ataupun titik.
Himpunan Pasangan Berurut
Sebuah relasi yang menghubungkan satu himpunan ke himpunan lainnya bisa disajikan dalam bentuk himpunan pasangan berurut. Cara penulisannya yaitu anggota himpunan A ditulis pertama, sedangkan anggota himpunan B yang menjadi pasangannya ditulis kedua.
Contohnya seperti ini:
Himpunan A = Indonesia, Jepang, Korea, Perancis
Himpunan B = Tokyo, Paris, Jakarta, Seoul
Tentukan himpunan pasangan berurut dari negara dan ibu kotanya.
Fungsi atau pemetaan merupakan relasi khusus dari himpunan A ke himpunan B, dengan aturan setiap anggota himpunan A dipasangkan tepat satu ke anggota himpunan B. Semua anggota himpunan A atau daerah asal disebut dengan domain, sedangkan semua anggota himpunan B atau daerah kawan disebut kodomain.
Hasil pemetaan dari domain ke kodomain disebutrangefungsi atau daerah hasil. Sama halnya dengan relasi, fungsi juga dapat dinyatakan dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurut dan diagram Cartesius.
Sumber: rumushitung.com
Untuk memahaminya lebih lanjut, perhatikan gambar di atas. Himpunan A atau daerah asal disebut dengan domain. Himpunan B yang merupakan daerah kawan disebut kodomain. Anggota daerah kawan yang merupakan hasil dari pemetaan disebut daerah hasil ataurangefungsi. Jadi dari diagram panah di atas dapat disimpulkan bahwa
· Domain (Df) adalah A = {1,2,3}
· Kodomain adalah B = {1,2,3,4}
· Range/Hasil (Rf) adalah = {2,3,4}
Fungsi dapat dinotasikan dengan huruf kecil seperti f, g, h, i, dan sebagainya. Fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B, maka dapat dinotasikan dengan f(x):A→B.
Contohnya adalah fungsi f yang memetakan A ke B dengan aturan f : x → 2x + 2. Dari notasi fungsi tersebut, x adalah anggota domain. Fungsi x → 2x + 2 memiliki arti bahwa fungsi f memetakan x ke 2x+2. Jadi daerah hasil x oleh fungsi f adalah 2x + 2. Jadi kamu bisa menotasikannya menjadi f(x) = 2x +2.
Jika fungsi f : x → ax + b dengan x anggota domain f, maka rumus fungsi f adalah
f(x) = ax +b
Contoh Soal:
Diketahui fungsi f : x → 2x – 2 dengan x bilangan bulat. Coba sobat tentukan nilai dari f(3).
Solusi:
Fungsi f : x → 2x – 2 dapat dinyatakan dengan f(x) = 2x – 2
sehingga,
f(x) = 2x – 2
f(3) = 2(3) – 2 = 4
Contoh
1. Apakah relasi-relasi berikut merupak fungsi?
a. Relasi berat badan siswa
b. Relasi ibu dari
c. Relasi warna kesukaan
Pembahasan:
a. Fungsi, karena setiap siswa pasti mempunyai berat badan tunggal
b. Fungsi, karena setiap anak pasti hanya mempunyai satu ibu
c. Bukan fungsi, karena warna kesukaan setiap orang bisa lebih dari satu
2. Diagram panah berikut menunjukkan relasi dari himpunan A ke B.
Daerah hasil dari relasi tersebut adalah ….
A. {1, 2, 3, 4} B. {1, 4, 9, 16} C. {1, 4, 9, 12, 16} D. {1, 2, 3, 4, 9, 12, 16}
Pembahasan:
Daerah hasil adalah anggota himpunan daerah kawan (kodomain) yang memiliki pasangan pada himpunan asal (domain).
Jadi, himpunan daerah hasil dari relasi tersebut adalah {1, 4, 9, 16}.
Jawaban: B
3. Perhatikan diagram di bawah!
Relasi yang tepat dari himpunan K ke himpunan L adalah …. A. dua kali dari B. setengah dari C. satu kurangnya dari D. kurang dari
Pembahasan:
Daerah asal ditunjukkan oleh himpunan K Daerah kawan ditunjukkan oleh himpunan L Setiap tanda panah dari daerah asal (himpunan K) memetakan ke daerah kawan (himpunan L) dengan cara setengah dari.
Jadi, relasi yang tepat dari himpunan K ke himpunan L adalah “setengah dari”, K setengah dari L.
Jawaban: B
4. Perhatikan diagram berikut ini!
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah …. A. faktor dari B. lebih dari C. kurang dari D. setengah dari
Pembahasan:
Relasi dari himpunan A ke himpunan B yang tepat adalah faktor dari, A faktor dari B.
§ 1 merupakan faktor dari 1, 2, 3
§ 2 merupakan faktor dari 2 dan 4
§ 4 merupakan faktor dari 4
Jawaban: A
Agar lebih mengerti, silahkan tonton video di bawah ini!
Catatan : Catat materi di atas ke dalam buku catatan, kemudian buat latihan pada link berikut ini
